Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，BC=4，N、M分別為B₁C₁、BB₁的中點(diǎn)，且異面直線MN與AC所成的角為arccos，求長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：方法一：利用空間向量來解，建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量，的坐標(biāo)，用含長(zhǎng)方體的高h(yuǎn)的式子表示，因?yàn)楫惷嬷本�MN與AC所成的角為arccos，所以再利用向量夾角的計(jì)算公式，即可求出長(zhǎng)方體的高，再利用長(zhǎng)方體的體積公式，求出體積．
方法二：先利用平移，找到異面直線MN與AC所成的角的平面角，利用異面直線MN與AC所成的角為arccos，求出長(zhǎng)方體的高，再利用長(zhǎng)方體的體積公式，求出體積．
解答：解：方法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AA₁=h
則A（4，00），C（0，2，0），M（4，2，），N（2，2，h）
，
因?yàn)楫惷嬷本�AC與MN的夾角為arccos，
則cosθ==
得：8=，即h=8
所以長(zhǎng)方體的體積V=2×4×8=64
方法二：連接AC，AD₁，CD₁，設(shè) AA₁=h
因?yàn)锳D₁∥MN，所以∠CAD₁為異面直線MN與AC所成的角，
在△CAD₁中，CA=2，AD₁=，CD₁=
由余弦定理得h=8，
所以長(zhǎng)方體的體積V=2×4×8=64
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了異面直線所成角的概念，以及長(zhǎng)方體體積的求法．