Question

已知函數(shù)f(x)=x+

a

x

(a∈R），g（x）=lnx
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關于x的方程

g(x)

x

=x•[f(x)-2e]（e為自然對數(shù)的底數(shù)）只有一個實數(shù)根，求a的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)=x+

a

x

+lnx的定義域為（0，+∞），F′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

．由此能求出函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）令h(x)=

lnx

x

，則h′(x)=

1-lnx

x2

．令h′（x）=0，得x=e．當0＜x＜e時，h′（x）＞0； 當x＞e時，h′（x）＜0．函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減．由此能求出滿足條件的實數(shù)的值．

解答：解：函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)=x+

a

x

+lnx的定義域為（0，+∞）．
∴F′(x)=1-

a

x2

+

1

x

=

x2+x-a

x2

．
①當△=1+4a≤0，即a≤-

1

4

時，得x²+x-a≥0，則F′（x）≥0．
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（2分）
②當△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

時，令F′（x）=0，得x²+x-a=0，
解得x1=

-1- 1+4a

2

＜0，x2=

-1+ 1+4a

2

．
（�。� 若-

1

4

＜a≤0，則x2=

-1+ 1+4a

2

≤0．
∵x∈（0，+∞），
∴F′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（4分）
（ⅱ）若a＞0，則x∈(0，

-1+ 1+4a

2

)時，F(xiàn)′（x）＜0；
x∈(

-1+ 1+4a

2

，+∞)時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴函數(shù)F（x）在區(qū)間(0，

-1+ 1+4a

2

)上單調(diào)遞減，
在區(qū)間(

-1+ 1+4a

2

，+∞)上單調(diào)遞增．
綜上所述，當a≤0時，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；（6分）
當a＞0時，函數(shù)F（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

-1+ 1+4a

2

)，
單調(diào)遞增區(qū)間為(

-1+ 1+4a

2

，+∞)．（8分）
（2）解：令h(x)=

lnx

x

，則h′(x)=

1-lnx

x2

．
令h′（x）=0，得x=e．
當0＜x＜e時，h′（x）＞0；
 當x＞e時，h′（x）＜0．
∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，e）上單調(diào)遞增，
在區(qū)間（e，+∞）上單調(diào)遞減．
∴當x=e時，函數(shù)h（x）取得最大值，其值為h(e)=

1

e

．（10分）
而函數(shù)m（x）=x²-2ex+a=（x-e）²+a-e²，
當x=e時，函數(shù)m（x）取得最小值，其值為m（e）=a-e²．（12分）
∴當a-e2=

1

e

，即a=e2+

1

e

時，
方程

g(x)

x2

=f(x)-2e只有一個根．（14分）

點評：本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應用，綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．易錯點是分類不清導致出錯．