(2009山東卷文)(本小題滿分14分)
設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;
(3)已知,設直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
解:(1)因為,,,
所以, 即.
當m=0時,方程表示兩直線,方程為;
當時, 方程表示的是圓
當且時,方程表示的是橢圓;
當時,方程表示的是雙曲線.
(2).當時, 軌跡E的方程為,設圓心在原點的圓的一條切線為,解方程組得,即,
要使切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,
則使△=,
即,即, 且
,
要使, 需使,即,
所以, 即且, 即恒成立.
所以又因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,
所以圓的半徑為,, 所求的圓為.
當切線的斜率不存在時,切線為,與交于點或也滿足.
綜上, 存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.
(3)當時,軌跡E的方程為,設直線的方程為,因為直線與圓C:(1<R<2)相切于A1, 由(2)知, 即 ①,
因為與軌跡E只有一個公共點B1,
由(2)知得,
即有唯一解
則△=, 即, ②
由①②得, 此時A,B重合為B1(x1,y1)點,
由 中,所以,,
B1(x1,y1)點在橢圓上,所以,所以,
在直角三角形OA1B1中,因為當且僅當時取等號,所以,即
當時|A1B1|取得最大值,最大值為1.
【命題立意】:本題主要考查了直線與圓的方程和位置關(guān)系,以及直線與橢圓的位置關(guān)系,可以通過解方程組法研究有沒有交點問題,有幾個交點的問題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(2009山東卷文) (本小題滿分14分)
設,在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.
(1)求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;
(2)已知,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A,B,且(O為坐標原點),并求出該圓的方程;
(3)已知,設直線與圓C:(1<R<2)相切于A1,且與軌跡E只有一個公共點B1,當R為何值時,|A1B1|取得最大值?并求最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(2009山東卷文)已知α,β表示兩個不同的平面,m為平面α內(nèi)的一條直線,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
(2009山東卷文)已知α,β表示兩個不同的平面,m為平面α內(nèi)的一條直線,則“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
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