Question

已知函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x²-10x在x=3處的切線平行與x軸．
（1）求a；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)域；
（3）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)f′（x），再由x=3是函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一個(gè)極值點(diǎn)即f′（3）=0建立方程，解之即可；
（2）由（1）確定函數(shù)f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）得到函數(shù)的極值點(diǎn)，求得極小值和極大值得答案．

解答： 解：（1）∵f′（x）=

a

x+1

+2x-10，
f′（3）=

a

4

+6-10=0，
解得：a=16；
（2）由（1）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞），
∴f′（x）=

2(x2-4x+3)

x+1

，
當(dāng)x∈（-1，1）∪（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）．f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，3）；
（3）由（2）知，f（x）的極大值為f（1）=16ln2-9，極小值為f（3）=32ln2-21．
且當(dāng)x從右側(cè)無(wú)限接近于-1時(shí)，f（x）趨于-∞，當(dāng)x無(wú)限大時(shí)，f（x）趨于+∞，
∴若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是（32ln2-21，16ln2-9）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過曲線上某點(diǎn)的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，考查利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是弄清函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，是中檔題．