Question

已知函數(shù)f(x)=

x2-2x+2

x-1

，（1）證明：|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）設(shè)x是正實(shí)數(shù)，求證：[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知|f(tx+1)|=|tx+

1

tx

|=|tx|+

1

|tx|

≥2

|tx|• 1 |tx|

=2，由0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，知|tx|≠1，|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|²）=2（t²+x²）+2|t²-x²|-（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|，由此能證明|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|．
（2）[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)=Cn1xn-1•

1

x

+Cn2xn-2•

1

x2

++Cnn-2x2•

1

xn-2

+Cnn-1x•

1

xn-1

=Cn1xn-2+Cn2xn-4++Cnn-2•

1

xn-4

+Cnn-1•

1

xn-2

，≥

1

2

[2-(

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

)]=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2．

解答：證明：（1）∵f(x)=

(x-1)2+1

x-1

，∴f(tx+1)=tx+

1

tx

，
∴|f(tx+1)|=|tx+

1

tx

|=|tx|+

1

|tx|

≥2

|tx|• 1 |tx|

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)|tx|=1時(shí)，上式取等號(hào)．
∵0＜|x|＜1，0＜|t|＜1，
∴|tx|≠1，
∴|f（tx+1）|＞2s=（|t+x|+|t-x|²=2（t²+x²）+2|t²-x²|-（|t+x|+|t-x|）²=2（t²+x²）+2|t²-x²|
當(dāng)|t|≥|x|時(shí)，s=4t²≤4；當(dāng)|t|≤|x|時(shí)s=4x²＜4
∴|t+x|+|t-x|≤2＜|f（tx+1）|即|t+x|+|t-x|＜|f（tx+1）|
（2）n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立
當(dāng)n≥2時(shí)，[f(x+1)]n-f(xn+1)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)=Cn1xn-1•

1

x

+Cn2xn-2•

1

x2

++Cnn-2x2•

1

xn-2

+Cnn-1x•

1

xn-1

=Cn1xn-2+Cn2xn-4++Cnn-2•

1

xn-4

+Cnn-1•

1

xn-2

=

1

2

[Cn1(xn-2+

1

xn-2

)+Cn2(xn-4+

1

xn-4

)++Cnn-1(xn-2+

1

xn-2

)]
≥

1

2

[2-(

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

)]
=C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1=2ⁿ-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的合理應(yīng)用．