如圖，AC為圓O的直徑，PC為圓O所在平面的垂線（C為垂足），B為半圓周上一點，M為AP的中點，且PC=4，AB=BC=2．
（1）求證：平面ABP⊥平面BPC；
（2）求三棱錐A-MBC的體積．
考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,平面與平面垂直的判定
專題：綜合題,空間位置關系與距離
分析：（1）證明AB⊥平面PBC，即可證明平面ABP⊥平面BPC；
（2）利用轉換底面，VA-MBC=VM-ABC，即可求出三棱錐A-MBC的體積．
解答： （1）證明：∵PC⊥平面ABC，
∴PC⊥AB…（1分）
∵AC為圓O的直徑，B為半圓周上一點
∴AB⊥BC…（2分）
又∵PC∩BC=C
∴AB⊥平面PBC，…（4分）
又AB?平面PAB
∴平面ABP⊥平面BPC…（6分）
（2）解：連結MO，則
∵PC⊥平面ABC
且M、O分別為AP、AC的中點，∴MO∥PC，且MO=
1
2
PC=2，
∴MO⊥平面ABC，…（8分）
∵AB⊥BC，∴S△ABC=
1
2
×2×2=2，
∴VA-MBC=VM-ABC=
1
3
×2×2=
4
3
，…（12分）
點評：本題考查面面垂直，考查三棱錐A-MBC的體積，正確運用線面垂直的判定定理是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知A={x||x-3|≤5}，B={x|x2-4x-5＞0}，C={x|a≤x≤a+3}
（1）求A∩B
（2）若C⊆B，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）=a-
2
2x+1
，x∈R
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實數(shù)a的值；
（2）探索函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（logb（2t-t2））＞f（logb（2-t））（b＞0且b≠1），求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設f（x）=ax3+bx+c（a≠0）為奇函數(shù)，其圖象在點（1，f（1））處的切線為6x+y+4=0．
（1）求a，b，c的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，拋物線C：y=-
1
3
x2+1與坐標軸的交點分別為P，F(xiàn)1，F(xiàn)2．
（1）求以F1，F(xiàn)2為焦點且過點P的橢圓方程；
（2）經(jīng)過坐標原點O的直線l與拋物線相交于A，B兩點，若|AO|=3|OB|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在函數(shù)f（x）=mx3-x的圖象上以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為
π
4
．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-2013對于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由；
（Ⅲ）求證：|f（sinx）+f（cosx）|≤2f（t+
1
2t
），（x∈R，t＞0）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x3-3ax2+2bx在x=1處有極小值-1，試求a，b的值，并求出f（x）的極大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3+ax+b（a，b∈R）在x=2處取得的極小值是-
4
3
．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）當x∈[-4，3]時，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某校從高一年級期末考試的學生中抽出20名學生，其成績（均為整數(shù)）的頻率分布直方圖如圖所示：

（1）估計這次考試中學生成績在70到90分的概率；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計平均分；
（3）從成績是80分以上的學生中選兩人，求他們在同一分數(shù)段的概率．

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