Question

已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），其中α∈(

π

2

，

3π

2

)．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

 • 

BC

=-1，求tan(α+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：先由A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，求出

AC

與

BC

的坐標(biāo)，再根據(jù)

AC

•

BC

=-1，列出一個(gè)關(guān)于α的方程，可將問題轉(zhuǎn)化為簡單的三角函數(shù)化簡求值問題．

解答：解：（1）∵

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)，
∴|

AC

|

(cosα-3)2+sin2α

=

10-6cosα

，|

BC

|=

10-6sinα

．
由|

AC

|=|

BC

|得sinα=cosα．
又α∈(

π

2

，

3π

2

)，∴α=

5

4

π．
（2）由

AC

 • 

BC

=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1，
∴sinα+cosα=

2

3

，∴sin(α+

π

4

)=

2

3

＞0．
又由

π

2

＜α＜

3π

2

，∴

3π

4

＜α+

π

4

＜π，∴cos(α+

π

4

)=-

7

3

．
故tan(α+

π

4

)=-

14

7

．

點(diǎn)評：決此題的關(guān)鍵是：熟練掌握向量數(shù)量積公式以及三角函數(shù)的變換方法．已知某三角函數(shù)值、求其它三角函數(shù)的值．一般先化簡，再求值．化簡三角函數(shù)的基本方法：統(tǒng)一角、統(tǒng)一名通過觀察“角”“名”“次冪”，找出突破口，利用切化弦、降冪、逆用公式等手段將其化簡．