Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x-sin²x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）設(shè)α∈[0，

π

2

]，f（

α

2

+

π

8

）=

5

2

，求sin（α+

π

4

）的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,運用誘導(dǎo)公式化簡求值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）f（x）解析式前兩項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域確定出最大值；找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根據(jù)（1）確定的解析式，由f（

α

2

+

π

8

）=

5

2

，求出cosα的值，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinα的值，原式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入計算即可求出值．

解答： 解：（1）f（x）=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，即-

2

≤

2

sin（2x+

π

4

）≤

2

，
∴f（x）的最大值為

2

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
（2）∵f（

α

2

+

π

8

）=

2

sin（α+

π

2

）=

2

cosα=

5

2

，
∴cosα=

10

4

，
∵α∈[0，

π

2

]，
∴sinα=

1-cos2α

=

1-( 10 4 )2

=

6

4

，
則sin（α+

π

4

）=

2

2

sinα+

2

2

cosα=

2

2

×（

6

4

+

10

4

）=

3 + 5

4

．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，以及運用誘導(dǎo)公式化簡求值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．