Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=PD．
（Ⅰ）證明PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用線(xiàn)面垂直的判定定理證明本題是解決本題的關(guān)鍵，要在平面中尋找與已知直線(xiàn)垂直的兩條相交直線(xiàn)，進(jìn)行線(xiàn)面關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化；
（Ⅱ）利用體積的計(jì)算方法將本題中的體積計(jì)算出來(lái)是解決本題的關(guān)鍵，掌握好錐體的體積計(jì)算公式．
解答：解：（I）由條件知PDAQ為直角梯形，
因?yàn)镼A⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線(xiàn)為AD
又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得，則PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）設(shè)AB=a，
由題設(shè)知AQ為棱錐Q-ABCD的高，所以棱錐Q一ABCD的體積
由（Ⅰ）知PQ為棱錐P-DCQ的高而PQ=．△DCQ的面積為．
所以棱錐P-DCQ的體積
故棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值為1：l．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中線(xiàn)面垂直的判定方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，將線(xiàn)面垂直轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)垂直，注意步驟的規(guī)范性，考查學(xué)生對(duì)錐體的體積的計(jì)算方法的認(rèn)識(shí)，考查學(xué)生的幾何計(jì)算知識(shí)．