Question

如圖，曲線段C是函數(shù)y=x

4

3

（x≥0）的圖象，C過點(diǎn)P₁（1，1）．過P₁作曲線C的切線交x軸于Q₁點(diǎn)，過Q₁作垂直于x軸的直線交曲線C于P₂點(diǎn)，過P₂的切線交x軸于Q₂點(diǎn)，…，如此反復(fù)，得到一系列點(diǎn)Q₁，Q₂，…，Q_n，設(shè)Q_n（a_n，0）．
（1）求a₁；
（2）求a_n的表達(dá)式；
（3）證明：

1

a1+1

+

1

a2+1

+…

1

an+1

＞n-

1

2

+(

1

2

)n+1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，求得過P₁切線方程，即可求得a₁；
（2）確定過Pn+1(an，an

4

3

)的切線方程，利用直線過Q_n+1（a_n+1，0），可得a_n的表達(dá)式；
（3）證明

1

an+1

＞1-

1

2n+1

，累加即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：y′=

4

3

x

1

3

，則y′|x=1=

4

3

…（2分）
過P₁切線方程：y-1=

4

3

(x-1)，可得Q1(

1

4

，0)，則a1=

1

4

．    …（4分）
（2）解：y′|x=an=

4

3

an

1

3

，過Pn+1(an，an

4

3

)的切線方程：y-an

4

3

=

4

3

an

1

3

(x-an)，…（6分）
該直線過Q_n+1（a_n+1，0），則0-an

4

3

=

4

3

an

1

3

(an+1-an)
化簡得an+1=

1

4

an，則an=(

1

4

)n…（8分）
（3）證明：

1

an+1

=

4n

1+4n

=1-

1

4n+1

，…（9分）
而4ⁿ+1＞2•2ⁿ=2ⁿ⁺¹，故

1

an+1

＞1-

1

2n+1

…（11分）
所以

1

a1+1

+

1

a2+1

+…

1

an+1

＞n-[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n+1]=n-

1

4

•

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=n-

1

2

+(

1

2

)n+1
所以

1

a1+1

+

1

a2+1

+…

1

an+1

＞n-

1

2

+(

1

2

)n+1…（14分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．