Question

【題目】如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）解法一： 作的中點，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進而證得平面.解法二：建立空間直角坐標系，通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.

（2）利用平面和平面法向量，計算出二面角的余弦值.

（1）法一：作的中點，連接，.又為的中點，∴為的中位線，∴，又為的中點，∴為梯形的中位線，∴，在平面中，，在平面中，，∴平面平面，又平面，∴平面.

另解：（法二）∵在長方體中，，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系如圖所示，

則，，，

，，，

，，，

，，.

（1）設平面的一個法向量為，

則，

令，則，.∴，又，

∵，，又平面，平面.

（2）設平面的一個法向量為，

則，

令，則，.∴.

同理可算得平面的一個法向量為

∴，

又由圖可知二面角的平面角為一個鈍角，

故二面角的余弦值為.