Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

1+x2

ex．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時，x₁+x₂＜0．

Answer 1

（I）易知函數(shù)的定義域為R．
f′(x)=(

1-x

1+x2

)′ex+

1-x

1+x2

ex=

x2-2x-1

(1+x2)2

ex+

1-x

1+x2

ex=

-x[(x-1)2+2]

(1+x2)2

ex，
當x＜0時，f^′（x）＞0；當x＞0時，f^′（x）＜0．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（II）當x＜1時，由于

1-x

1+x2

＜0，e^x＞0，得到f（x）＞0；同理，當x＞1時，f（x）＜0．
當f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時，不妨設(shè)x₁＜x₂．
由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即證

1-x

1+x2

ex＜

1+x

1+x2

e-x．此不等式等價于(1-x)ex-

1+x

ex

＜0．
令g（x）=(1-x)ex-

1+x

ex

，則g^′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
當x∈（0，1）時，g^′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即(1-x)ex-

1+x

ex

＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
從而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．