Question

已知函數(shù)f（x）=

1-x

1+x2

ex．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）證明：當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時(shí)，x₁+x₂＜0．

Answer 1

（I）易知函數(shù)的定義域?yàn)镽．
f′(x)=(

1-x

1+x2

)′ex+

1-x

1+x2

ex=

x2-2x-1

(1+x2)2

ex+

1-x

1+x2

ex=

-x[(x-1)2+2]

(1+x2)2

ex，
當(dāng)x＜0時(shí)，f^′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f^′（x）＜0．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）．
（II）當(dāng)x＜1時(shí)，由于

1-x

1+x2

＜0，e^x＞0，得到f（x）＞0；同理，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0．
當(dāng)f（x₁）=f（x₂）（x₁≠x₂）時(shí)，不妨設(shè)x₁＜x₂．
由（I）可知：x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，1）．
下面證明：?x∈（0，1），f（x）＜f（-x），即證

1-x

1+x2

ex＜

1+x

1+x2

e-x．此不等式等價(jià)于(1-x)ex-

1+x

ex

＜0．
令g（x）=(1-x)ex-

1+x

ex

，則g^′（x）=-xe^-x（e^2x-1）．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g^′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，∴g（x）＜g（0）=0．
即(1-x)ex-

1+x

ex

＜0．
∴?x∈（0，1），f（x）＜f（-x）．
而x₂∈（0，1），∴f（x₂）＜f（-x₂）．
從而，f（x₁）＜f（-x₂）．
由于x₁，-x₂∈（-∞，0），f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，
∴x₁＜-x₂，即x₁+x₂＜0．