Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(2cosx，1)，

b

=(cosx，

3

sin2x)，x∈R
（1）若函數(shù)f（x）=1-

3

，且x∈[-

π

3

，

π

3

]，求x；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把f（x）表示出來(lái)并化簡(jiǎn)，由f（x）=1-

3

及x的范圍可求x值；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法可求其單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（1）依題設(shè)得f（x）=2cos2x+

3

sin2x
=1+cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）+1．
由2sin（2x+

π

6

）+1=1-

3

，得sin（2x+

π

6

）=-

3

2

．
∵-

π

3

≤x≤

π

3

，∴-

π

2

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，
∴2x+

π

6

=-

π

3

，即x=-

π

4

．
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ(k∈Z)，
解得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z）．
得函數(shù)單調(diào)區(qū)間為：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及正弦函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，要重視相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)基本方法的掌握．