Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+

9

2

(a＞0)
（1）當(dāng)a=3時(shí)，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求證：曲線y=f（x）總有斜率為a的切線；
（III）若存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍，寫成區(qū)間即為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（II）求出導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）=x²-ax=a，因?yàn)榕袆e式大于0恒成立，方程x²-ax-a=0對任意正數(shù)a都有解，得到證明．
（III）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0求出根，通過對a的分類討論得到根a在已知區(qū)間內(nèi)函數(shù)的最小值大于0恒成立，所以此時(shí)不存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，當(dāng)根a不在區(qū)間內(nèi)求出f（x）的最小值，令最小值小于0求出a的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，

1

3

x3-

3

2

x2+

9

2

，
f′（x）=x²-3x，
令f′（x）=x²-3x＞0解得x＜0或x＞3．
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，0），（3，+∞）．
（II）f′（x）=x²-ax，
令f′（x）=x²-ax=a，即x²-ax-a=0，
因?yàn)閍＞0，
所以△=a²+4a＞0恒成立，
所以方程x²-ax-a=0對任意正數(shù)a都有解，
所以曲線y=f（x）總有斜率為a的切線；
由（II）知，f′（x）=x²-ax，
令f′（x）=x²-ax=0得x₁=0或x₂=a，
因?yàn)閍＞0，所以當(dāng)0＜a＜2時(shí)，x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

因?yàn)?span id="2e6pfbm" class="MathJye">

25-3a

6

＞0，

27-a3

6

＞0，
所以，對應(yīng)任意x∈[-1，2]，f（x）＞0，即此時(shí)不存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，
當(dāng)a≥2時(shí)，x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

因?yàn)?span id="yvetras" class="MathJye">

25-3a

6

-

43-12a

6

=

3a-6

2

≥0，
所以函數(shù)f（x）在[-1，2]上的最小值是

43-12a

6

．
因?yàn)榇嬖趚∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，
所以

43-12a

6

＜0，
所以a＞

43

12

所以a 的取值范圍為（

43

12

，+∞）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；利用導(dǎo)函數(shù)解決曲線的切線的斜率問題；通過導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的最值問題，屬于一道綜合題．