Question

下列說(shuō)法中，正確的是（　　）
①對(duì)于定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x），若函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=f（1-x），則函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)；
②當(dāng)a＞1時(shí)，任取x∈R都有a^x＞a^-x；
③“a=1”是“函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增”的充分必要條件；
④設(shè)a∈{-1，1，

1

2

，3}，則使函數(shù)y=x^a的定義域?yàn)镽且該函數(shù)為奇函數(shù)的所有a的值為1，3；
⑤已知a是函數(shù)f（x）=2^x-log_0.5x的零點(diǎn)，若0＜x₀＜a，則f（x₀）＜0．

A．①④

B．①④⑤

C．②③④

D．①⑤

Answer 1

分析：對(duì)①根據(jù)條件f（x+1）=f（1-x）與f（x）=f（2-x）等同，利用點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上來(lái)判斷函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性；
對(duì)②x 與-x的大小不確定，可判斷；根據(jù)函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增的條件，可判斷③是否正確；
對(duì)④根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可求出符合條件的指數(shù)；
對(duì)⑤根據(jù)函數(shù)y=2^x，y=

log

x 0.5

的單調(diào)性確定f（x）=2^x-log_0.5x的單調(diào)性，來(lái)判斷⑤是否正確．

解答：解：∵f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=f（1-x），∴f（a）=f（2-a），設(shè)M（a、b）是函數(shù)上的任一點(diǎn)，M關(guān)于x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N（2-a，b）也在函數(shù)圖象上，∴f（x）的圖象關(guān)于x=1直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，①正確；
∵a＞1，y=a^x為增函數(shù)，x與-x大小不定，∴②不正確；
∵a＞0 時(shí)函數(shù)f（x）=lg（ax+1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴是充分不必要條件，故③不正確；
∵a=-1時(shí)定義域?yàn)閧x|x≠0，x∈R}，a=

1

2

 時(shí)定義域是x≥0，a=1或3時(shí)，定義域?yàn)镽且該函數(shù)為奇函數(shù)，故④正確；
∵f（a）=2^a-

log

a 0.5

=0，∵y=2^x為增函數(shù)，y=

log

x 0.5

為減函數(shù)，∴f（x）=2^x-log_0.5x為增函數(shù)，∴0＜x₀＜a，f（x₀）＜f（a）=0，故⑤正確；
故答案是①④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及應(yīng)用；特別注意可用點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上來(lái)判斷和證明函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性．這是證明函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)性的常用方法．