Question

(本小題滿(mǎn)分14分) 已知函數(shù)在處取得極值。

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）求證：對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，都有；

（Ⅲ）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）略

（Ⅲ）所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是  

【解析】（Ⅰ），依題意，，     …………………………………1分

即，解得      …………………………………3分

經(jīng)檢驗(yàn)符合。

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間上為減函數(shù)，

              ………………………………5分

∵對(duì)于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值，

都有

  …………………………………7分

（Ⅲ），

 ∵曲線方程為，∴點(diǎn)不在曲線上，

設(shè)切點(diǎn)為M(x₀,y₀)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足。

因，故切線的斜率為，

整理得。

∵過(guò)點(diǎn)A(1,m)可作曲線的三條切線，

∴關(guān)于的方程有三個(gè)實(shí)根。                …………………………………9分

設(shè)，則，

由，得或

在上單調(diào)遞增，在（0,1）上單調(diào)遞減。

∴函數(shù)的極值點(diǎn)為，        …………………………………11分

∴關(guān)于方程有三個(gè)實(shí)根的充要條件是

，解得

故所求的實(shí)數(shù)a的取值范圍是                       …………………………………14分