Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=x²-mx+2滿足f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x）．
命題p：上列二次函數(shù)f（x）當x∈[0，a]時，最大值是2．
命題q：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅．
若命題“p∧q”為假，“p∨q”為真，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意得出二次函數(shù)f（x）的對稱軸，從而求出m的值，再求命題p、q為真命題時a的取值范圍，
從而得出命題“p∧q”為假，“p∨q”為真時a的取值范圍．

解答 解：∵二次函數(shù)f（x）=x²-mx+2滿足f（$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$-x），
∴函數(shù)f（x）=x²-mx+2的對稱軸為：x=$\frac{3}{2}$，
即$\frac{m}{2}$=$\frac{3}{2}$，解得m=3，
∴f（x）=x²-3x+2；
則命題p：函數(shù)f（x）在x∈[0，a]上的最大值是2，∴0＜a≤3；
命題q：關于x的不等式x²+（a-1）x+a²＜0的解集是∅，
則△≤0，即（a-1）²-4a²≤0，解得a≥$\frac{1}{3}$或a≤-1；
當命題“p∧q”為假，“p∨q”為真時，p、q一真一假；
若p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜a≤3}\\{-1＜a＜\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得0＜a＜$\frac{1}{3}$；
若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤0或a＞3}\\{a≤-1或a≥\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得a≤-1或a＞3；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤-1或0＜a＜$\frac{1}{3}$或a＞3}．

點評 本題考查了復合命題的真假性判斷問題，也考查了二次函數(shù)與不等式的解法與應用問題，是綜合性題目．