Question

8．（1）已知y=f（x）的定義域為[0，2]，求：①f（x²）；②f（|2x-1|）；③f（$\sqrt{x-2}$）的定義域．
（2）已知函數(shù)f（x²-1）的定義域為[0，1]，求f（x）的定義域；
（3）已知函數(shù)f（2x+1）的定義域為（0，1），求f（2x-1）的定義域；
（4）已知函數(shù)f（x+1）的定義域為[-2，3]，求f（$\frac{1}{x}$+2）的定義域；
（5）已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，求g（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定義域；
（6）已知函數(shù)f（x）的定義域為[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]，求F（x）=f（ax）+f（$\frac{x}{a}$）（a＞0）的定義域．

Answer 1

分析 分別根據(jù)函數(shù)成立的條件求函數(shù)的定義即可．

解答 解：（1）已知y=f（x）的定義域為[0，2]，
則①由0≤x²≤2得0≤x≤$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$≤x≤0，即函數(shù)的定義域為{x|0≤x≤$\sqrt{2}$或-$\sqrt{2}$≤x≤0}．
②由0≤|2x-1|≤2得-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$，即函數(shù)的定義域為{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$}．
③由0≤$\sqrt{x-2}$≤2得2≤x≤6，即函數(shù)的定義域為{x|2≤x≤6}．
（2）已知函數(shù)f（x²-1）的定義域為[0，1]，
則0≤x≤1，則0≤x²≤1，-1≤x²-1≤0，
即f（x）的定義域為[-1，0]；
（3）已知函數(shù)f（2x+1）的定義域為（0，1），
則0＜x＜1，則1＜2x+1＜3，
即f（x）的定義域為（1，3）；
由1＜2x-1＜3，得1＜x＜2，即f（2x-1）的定義域為（1，2）；
（4）已知函數(shù)f（x+1）的定義域為[-2，3]，
則-2≤x≤3，則-1≤x+1≤4，
由-1≤$\frac{1}{x}$+2≤4，得-3≤$\frac{1}{x}$≤2，
解得x≥$\frac{1}{2}$或x≤$-\frac{1}{3}$，
即f（$\frac{1}{x}$+2）的定義域是{x|x≥$\frac{1}{2}$或x≤$-\frac{1}{3}$}；
（5）已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，
則0≤x≤1，
由$\left\{\begin{array}{l}{0≤x+m≤1}\\{0≤x-m≤1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{-m≤x≤1-m}\\{m≤x≤1+m}\end{array}\right.$，
∵m＞0，
∴當1-m=m時，即m=$\frac{1}{2}$時，
此時x=$\frac{1}{2}$，
若0$＜m＜\frac{1}{2}$，則m≤x≤1-m，
若m$＞\frac{1}{2}$，則不等式無解．
∴當0$＜m＜\frac{1}{2}$時，函數(shù)的定義域為[m，1-m]，
當m=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)的定義域為{$\frac{1}{2}$}，
當m$＞\frac{1}{2}$時，函數(shù)定義域為空集，此時不成立，舍去．
綜上：故當0$＜m＜\frac{1}{2}$時，函數(shù)的定義域為[m，1-m]，
當m=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)的定義域為{$\frac{1}{2}$}．
（6）設μ₁=ax，μ₂=$\frac{x}{a}$，其中a＞0，
則F（x）=f（μ₁）+f（μ₂）且μ₁、μ₂∈[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}≤ax≤\frac{3}{2}}\\{-\frac{1}{2}≤\frac{x}{a}≤\frac{3}{2}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2a}≤x≤\frac{3}{2a}}\\{-\frac{a}{2}≤x≤\frac{3}{2}a}\end{array}\right.$
①當a≥1時，$-\frac{a}{2}≤-\frac{1}{2a}，\frac{3}{2a}≤\frac{3}{2}a$，故不等式組的解為-$\frac{1}{2a}$≤x≤$\frac{3}{2a}$；
②當0＜a＜1時，$-\frac{a}{2}≥-\frac{1}{2a}，\frac{3}{2a}≥\frac{3}{2}a$不等式組的解為-$\frac{a}{2}$≤x≤$\frac{3a}{2}$．
∴當a≥1時，F(xiàn)（x）的定義域為[-$\frac{1}{2a}$，$\frac{3}{2a}$]；
當0＜a＜1時，F(xiàn)（x）的定義域為[-$\frac{a}{2}$，$\frac{3a}{2}$]．

點評 本題主要考查函數(shù)的定義域的求解，要求熟練掌握常見函數(shù)成立的條件．