Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足S_n=2a_n-a₁ 且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂a_n，求{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由題意可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，a_n=2a_n-1，∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列即a₁+a₃=2（a₂+1），可得a₁+a₃=2（a₂+1），即可求得a₁=2，因此數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ） 可知：b_n=log₂a_n=n，a_nb_n=n•2ⁿ，利用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ） 由已知S_n=2a_n-a₁，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
即a_n=2a_n-1，…（3分）
則a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，即a₁+a₃=2（a₂+1），
∴a₁+4a₁=2（a₂+1），解得：a₁=2．…（5分）
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n=2ⁿ；…（6分）
（Ⅱ）由題意得：b_n=log₂a_n=n，a_nb_n=n•2ⁿ，
{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．T_n=1×2+2×2²+…+n•2ⁿ，
∴2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，…（8分）
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
數(shù)列{a_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推公式，考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．