【題目】如圖，橢圓 的左焦點(diǎn)為F1 ， 右焦點(diǎn)為F2 ， 過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，△ABF2的周長為8，且△AF1F2面積最大時(shí)，△AF1F2為正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q．試探究：①以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系？ ②在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【答案】
（1）解：∵△ABF2的周長為8，∴4a=8，∴a=2．

又當(dāng)△AF1F2面積最大時(shí)為正三角形，∴A（0，b），a=2c，∴c=1，b2=3，

∴橢圓E的方程為


（2）解：①由 ，得方程（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0

由直線與橢圓相切得m≠0，△=0，4k2﹣m2+3=0．

求得 ，Q（4，4k+m），PQ中點(diǎn)到x軸距離 ．

所以圓與x軸相交．

②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由對稱性知點(diǎn)M在x軸上，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M（x1，0）， ．

由 ，得 ．

∴ ，即x1=1．

所以定點(diǎn)為M（1，0）．


【解析】（1）利用橢圓的定義、等邊三角形的性質(zhì)即可得出；（2）①判斷圓心到x軸的距離與半徑的大小關(guān)系即可得出； ②假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，則由對稱性知點(diǎn)M在x軸上，再利用直徑所對的圓周角是直角即可求出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：才能得出正確答案．

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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的內(nèi)角對邊分別為a，b，c，滿足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac． （Ⅰ）求B．
（Ⅱ）若sinAsinC= ，求C．

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【題目】 ，下列圖象中能表示定義域和值域都是 的函數(shù)的是（ ）
A.
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C.
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（1）當(dāng) 時(shí)，解不等式 ；
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【題目】如圖，李先生家住H小區(qū)，他工作在C科技園區(qū)，從家開車到公司上班路上有L1、L2兩條路線，L1路線上有A1、A2、A3三個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率均為 ；L2路線上有B1、B2兩個(gè)路口，各路口遇到紅燈的概率依次為 ， ．
（1）若走L1路線，求最多遇到1次紅燈的概率；
（2）若走L2路線，求遇到紅燈次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；
（3）按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求，請你幫助李先生從上述兩條路線中選擇一條最好的上班路線，并說明理由．

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=|x﹣a|，a∈R． （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）≤4的解集為[﹣1，7]，且兩正數(shù)s和t滿足2s+t=a，求證： ．

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【題目】在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a，b，c，M為BC的中點(diǎn)，BM=MC=2，AM=b﹣c，則△ABC面積最大值為 ．

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【題目】長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，點(diǎn)M是B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

（1）寫出點(diǎn)D、N、M的坐標(biāo)；
（2）求線段MD、MN的長度．

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【題目】已知等比數(shù)列{an}滿足，a2=3，a5=81．
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（2）設(shè)bn=log3an ， 求{bn}的前n項(xiàng)和為Sn ．

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