如圖，已知在正四面體ABCD中，O為A在BCD面內(nèi)的射影，M為AO中點，求證MB、MC、MD兩兩垂直．

答案：
解析：

證明 設(shè)正四面體棱長為A．由ABCD為正四面體，知O為△BCD中心．延長BO，交CD于E，連結(jié)ME．BE=a，OE=a，BO=A．在Rt△AOB中，AO==，故MO=a．

在Rt△MBO中，MB=．

∵

∴ BM⊥ME．

又由三垂線定理，知BM⊥CD，ME∩CD=E，故BM⊥平面MCD．又，故BM⊥MC，BM⊥MD．

同理可證MC⊥MD，MC⊥MB．故MB、MC、MD兩兩垂直．

本題還可在求出MB=a后，同理可知MC=MD=a．

∵，

∴MB⊥MC．

同理MB⊥MD，MD⊥MC．

∴MB、MC、MD兩兩垂直．

通過“計算”來證明線線垂直是此例證明的特點．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知正四面體ABCD的棱長為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點E是CD的中點，點P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運動，且滿足EP∥平面ABD，試求點P的軌跡；
（3）有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12cm之后，求恰好回到A點的概率．

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A．①②③    B．①②④    C．②③④    D．①③④

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如圖，已知正四面體ABCD的棱長為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點E是CD的中點，點P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運動，且滿足EP∥平面ABD，試求點P的軌跡；
（3）有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12cm之后，求恰好回到A點的概率．

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如圖，已知正四面體ABCD的棱長為3cm．
（1）求證：AD⊥BC；
（2）已知點E是CD的中點，點P在△ABC的內(nèi)部及邊界上運動，且滿足EP∥平面ABD，試求點P的軌跡；
（3）有一個小蟲從點A開始按以下規(guī)則前進：在每一個頂點處等可能地選擇通過這個頂點的三條棱之一，并且沿著這條棱爬到盡頭，當它爬了12cm之后，求恰好回到A點的概率．

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