Question

如圖，曲線E是由拋物線弧E₁：y²=4x（0≤x≤

2

3

）與橢圓弧E₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（

2

3

≤x≤a）所圍成的封閉曲線，且E₁與E₂有相同的焦點．
（Ⅰ）求橢圓弧E₂的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點F（1，0）的直線與曲線E交于A，B兩點，|FA|=r₁，|FB|=r₂，且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r₁；并求

r1

r2

的取值范圍．

Answer 1

考點：圓錐曲線的綜合,拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）確定（

2

3

，

8 3

）為橢圓上一點，利用橢圓的定義求出a，即可求橢圓弧E₂的方程；
（Ⅱ）曲線E由兩部分曲線E₁和E₂組成，所以按A在拋物線弧E₁或橢圓弧E₂上加以分類，由曲線E的對稱性，不妨設(shè)A在x軸上方（或x軸上），利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求

r1

r2

的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線弧E₁：y²=4x（0≤x≤

2

3

）的焦點為（1，0），且x=

2

3

時，y²=

8

3

，
所以（

2

3

，

8 3

）為橢圓上一點，又橢圓的焦點為（-1，0），（1，0），…（2分）
所以2a=

7

3

+

5

3

=4．…（3分）
所以a=2，b=

3

，…（4分）
所以橢圓E₂的方程為

x2

4

+

y2

3

=1（

2

3

≤x≤2）．…（5分）
（Ⅱ）曲線E由兩部分曲線E₁和E₂組成，所以按A在拋物線弧E₁或橢圓弧E₂上加以分類，由曲線E的對稱性，不妨設(shè)A在x軸上方（或x軸上）．
當(dāng)x=

2

3

時，y=±

2 6

3

，此時r=

5

3

，cosα=-

1

5

；
當(dāng)-

1

5

≤cosα≤1時，A在橢圓弧E₂上，
由題設(shè)知A（1+r₁cosα，r₁sinα），
將A點坐標(biāo)代入

x2

4

+

y2

3

=1得，3(1+r1cosα)2+4(r1sinα)2-12=0，
整理得(4-cos2α)r12+6r1cosα-9=0，
解得r1=

3

2+cosα

或r1=

3

cosα-2

（舍去）．…（6分）
當(dāng)-1≤cosα≤-

1

5

時，A在拋物線弧E₁上，由拋物線定義可得r₁=2+r₁cosα，
所以r1=

2

1-cosα

，…（7分）
綜上，當(dāng)-1≤cosα≤-

1

5

時，r1=

2

1-cosα

；當(dāng)-

1

5

≤cosα≤1時，r1=

3

2+cosα

或．
相應(yīng)地，同理可得

1

5

≤cosα≤1，r₂=

2

1+cosα

；當(dāng)-1≤cosα≤

1

5

時，根據(jù)圖形的對稱性，r₂=

3

2-cosα

．…（9分）
所以，當(dāng)-1≤cosα≤-

1

5

時，A在拋物線弧E₁上，B在橢圓弧E₂上，

r1

r2

=

2

1-cosα

•

2-cosα

3

=

2

3

（1+

1

1-cosα

）∈[1，

11

9

]；   …（10分）
當(dāng)

1

5

≤cosα≤1時A在橢圓弧E₂上，B在拋物線弧E₁上，

r1

r2

=

3

2+cosα

•

1+cosα

2

=

3

2

(1-

1

2+cosα

)∈[

9

11

，1]；   …（11分）
當(dāng)-

1

5

＜cosα＜

1

5

時A、B在橢圓弧E₂上，

r1

r2

=

3

2+cosα

•

2-cosα

3

=-1+

4

2+cosα

∈（

9

11

，

11

9

）；       …（12分）
綜上，

r1

r2

的取值范圍是[

9

11

，

11

9

]．…（13分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、兩點間距離公式及橢圓方程的求解，考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大，對能力要求高．