Question

直線l與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)．
（1）求證：“如果直線l過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么”是真命題
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₃，y₃）是拋物線上三點(diǎn)，且|AF|，|BF|，|DF|成等差數(shù)列．當(dāng)AD的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)T（3，0）時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)向量的點(diǎn)乘運(yùn)算求證即可，（2）由|AF|，|BF|，|DF|成等差數(shù)列，則2|BF|=|AF|+|DF|，即，從而問(wèn)題可解．
解答：解：（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)T（3，0）的直線l交拋物線y²=4x于點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
當(dāng)直線l的鈄率不存在時(shí)，直線l的方程為x=3，
此時(shí)，直線l與拋物線相交于點(diǎn)A（3，）、B（3，-）．
∴
當(dāng)直線l的鈄率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），其中k≠0，
由 得ky²-4y-12k=0⇒y₁y₂=-12
又∵∴，
綜上所述，命題“如果直線l過(guò)點(diǎn)T（3，0），那么 ”是真命題；
綜上，命題成立．
（2）由|AF|，|BF|，|DF|成等差數(shù)列，則2|BF|=|AF|+|DF|，即2x₂=x₁+x₃
直線AD斜率
所以，設(shè)AD中點(diǎn)為
故AD的垂直平分線為
令y=0，得x=2+x₂，∴x₂=1，代入y²=4x得y=±2，故B（1，2）或B（1，-2）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了真假命題的證明，但要知道向量點(diǎn)乘運(yùn)算的知識(shí)．