Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx．
（Ⅰ）若a=-4，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)t≥1時(shí)，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函數(shù)的增區(qū)間，求出f′（x）＜0得到函數(shù)的減區(qū)間，即可得到函數(shù)的極小值；
（Ⅱ）由f（x）的解析式化簡(jiǎn)不等式，得到當(dāng)t≥1時(shí)，t²≥2t-1，∴．即t＞1時(shí)，恒成立即要求出的最小值即可得到a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）由題意得，．由函數(shù)的定義域?yàn)閤＞0，
∴f'（x）＞0⇒x＞1，f'（x）＜0⇒0＜x＜1．∴函數(shù)f（x）有極小值f（1）=3．
（Ⅱ）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴．
當(dāng)t≥1時(shí)，t²≥2t-1，∴．即t＞1時(shí)，恒成立．又易證ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴在t＞1上恒成立．當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)t≥1時(shí)，，∴由上知a≤2．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)恒成立時(shí)所取的條件．考查考生的運(yùn)算、推導(dǎo)、判斷能力．