Question

已知函數(shù)f（x）=

x+ 1 2 ，x∈[0， 1 2 ) 3x2，x∈[ 1 2 ，1]

，若存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂），則x₁•f（x₂）的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由題意易知f（x）在[0，

1

2

），[

1

2

，1]上單調(diào)遞增，從而可得x₁∈[0，

1

2

），x₂∈[

1

2

，1]；從而求出x₁的取值范圍并化簡x₁•f（x₂）=x₁•（x₁+

1

2

），從而求其取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=x+

1

2

，x∈[0，

1

2

）為單調(diào)遞增，
f（x）=3x²在[

1

2

，1]上單調(diào)遞增，
則由存在x₁＜x₂，使得f（x₁）=f（x₂）得，
x₁∈[0，

1

2

），x₂∈[

1

2

，1]，
即x₁+

1

2

=3

x

2 2

，則

1

4

≤x₁＜

1

2

，
則x₁•f（x₂）=x₁•（x₁+

1

2

），
則

1

4

•（

1

4

+

1

2

）≤x₁•（x₁+

1

2

）＜

1

2

•1，
即

3

16

≤x₁•（x₁+

1

2

）＜

1

2

，
故答案為：[

3

16

，

1

2

）．

點評：本題考查了分段函數(shù)的應用，同時考查了單調(diào)函數(shù)的應用，屬于中檔題．