Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E為棱AA₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B₁-CE-C₁的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：

分析：（Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明B₁C₁⊥CE．
（Ⅱ）求出平面CC₁E的法向量和平面B₁CE的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-CE-C₁的正弦值．

解答： （Ⅰ）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AD為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），

B1C1

=（1，0，-1），

CE

=(-1，1，-1)，

B1C1

•

CE

=0，∴B₁C₁⊥CE．
（Ⅱ）由題設(shè)知B₁C₁⊥平面CC₁E，
∴平面CC₁E的法向量

B1C1

=(1，0，-1)，
設(shè)平面B₁CE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • CE =-x+y-z=0 n • B1C =x-2y-z=0

，
令z=-1，則

n

=(3，2，-1)，
設(shè)二面角B₁-CE-C₁的平面角為α，
則cosα=cos＜

B1C1

，

n

＞=

2

7

，
∴sinα=

21

7

．
∴二面角B₁-CE-C₁的正弦值為

21

7

．

點(diǎn)評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．