Question

1．設函數f（x）=x|x-a|+b，a，b∈R若對于給定的實數a（a≥2），存在實數b，?x₁，x₂∈[1，2]，都有不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 若對于給定的實數a（a≥2），存在實數b，?x₁，x₂∈[1，2]，都有不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，即x∈[1，2]時，函數最值的差不超過1，結合二次函數的圖象分類討論，可得答案．

解答 解：當x∈[1，2]時，f（x）=x|x-a|+b=-x²+ax+b，
其圖象是開口朝下，且以直線x=$\frac{a}{2}$為對稱軸的拋物線，
若?x₁，x₂∈[1，2]，都有不等式|f（x₁）-f（x₂）|≤1恒成立，
即x∈[1，2]時，函數最值的差不超過1，
（1）當$\frac{a}{2}$≥2，即a≥4時，
∴f（x）在[1，2]上為增函數，
f（x）_max=f（2）=-4+2a+b，
f（x）_min=f（1）=-1+a+b，
由（-4+2a+b）-（-1+a+b）≤1得：a≤4；
∴a=4
（2）當$\frac{3}{2}$≤$\frac{a}{2}$＜2，即3≤a＜4時，
∴f（x）在[1，$\frac{a}{2}$]上為增函數，在[$\frac{a}{2}$，2]上為減函數，
f（x）_max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b，
f（x）_min=f（1）=-1+a+b，
由（$\frac{{a}^{2}}{4}$+b）-（-1+a+b）≤1得：0≤a≤4；
∴3≤a＜4
（3）當1＜$\frac{a}{2}$＜$\frac{3}{2}$，即2＜a＜3時，
∴f（x）在[1，$\frac{a}{2}$]上為增函數，在[$\frac{a}{2}$，2]上為減函數，
f（x）max=f（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$+b，
f（x）_min=f（2）=-4+2a+b，
由（$\frac{{a}^{2}}{4}$+b）-（-4+2a+b）≤1得：2≤a≤6；
∴2＜a＜3，
均上可得：2＜a≤4．

點評 此題是個難題，考查函數的性質及其應用，考查判斷函數的單調性，并根據函數的單調性解函數值不等式，體現了轉化的思想，在轉化過程中又注重了分類討論的數學思想方法，題目的難度大，綜合性強．