20．在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$．求證：數(shù)列{bn+$\frac{2}{3}$}是等比數(shù)列．

分析 由a1=1求出b1、b1+$\frac{2}{3}$的值，根據(jù)遞推公式求出bn+1，代入$\frac{_{n+1}+\frac{2}{3}}{_{n}+\frac{2}{3}}$化簡，由等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{bn+$\frac{2}{3}$}是等比數(shù)列．

解答 解：由a1=1得，b1=$\frac{1}{{a}_{1}-2}$=-1，則b1+$\frac{2}{3}$=$-\frac{1}{3}$，
因為an+1=$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，bn=$\frac{1}{{a}_{n}-2}$，
所以bn+1=$\frac{1}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{1}{\frac{5}{2}-\frac{1}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}-2}$，
則$\frac{_{n+1}+\frac{2}{3}}{_{n}+\frac{2}{3}}$=$\frac{\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}-2}+\frac{2}{3}}{\frac{1}{{a}_{n}-2}+\frac{2}{3}}$=$\frac{8{a}_{n}-4}{{2a}_{n}-1}$=4，
所以數(shù)列{bn+$\frac{2}{3}$}是以4為公比、-$\frac{1}{3}$為首項的等比數(shù)列．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明方法：定義法，考查化簡、變形能力．

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