Question

【題目】如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，其一個焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)相同，又橢圓C上有一點(diǎn)M(2，1)，直線l平行于OM且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，連接MA，MB.

(1)求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)MA，MB與x軸所構(gòu)成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

解：(1)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(，0)，又橢圓C上有一點(diǎn)M(2，1)，

由題意設(shè)橢圓方程為：＋＝1(a＞b＞0)，

則

解得

∴橢圓C的方程為＋＝1.

(2)∵l∥OMk1＝kO M＝，設(shè)直線在y軸上的截距為m，則直線l：y＝x＋m.

直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．

聯(lián)立消去y得

x2＋2mx＋2m2－4＝0，∴Δ＝(2m)2－4(2m2－4)＝4(4－m2)＞0，

∴m的取值范圍是{m|－2＜m＜2，且m≠0}，

設(shè)MA，MB的斜率分別為k1，k2，

∴k1＋k2＝0，

則A(x1，y1)，B(x2，y2)，則k1＝，k2＝，x1x2＝2m2－4，x1＋x2＝－2m，

∴k1＋k2＝＋

＝

＝

＝

＝＝0，

故MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形時，∴直線l在y軸上的截距m的取值范圍是{m|－2＜m＜2，且m≠0}．