Question

橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A、B．點P雙曲線C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點，直線AP、BP與橢圓C₁分別交于C、D點．若△ACD與△PCD的面積相等．
（1）求P點的坐標(biāo)；
（2）能否使直線CD過橢圓C₁的右焦點，若能，求出此時雙曲線C₂的離心率，若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），又有點A（-a，0），B（a，0）．由S_△ACD=S_△PCD，知C為AP的中點，C(

x0-a

2

，

y0

2

)．將C點坐標(biāo)代入橢圓方程，得

(x0-a)2

a2

+

y 2 0

b2

=4，由此能夠推導(dǎo)出P(2a，

3

b)．
（2）由KPD=KPB=

y0

x0-a

=

3 b

a

，把直線PD：y=

3 b

a

(x-a)代入

x2

a2

+

y2

b2

=1?2x²-3ax+a²=0．由此入手能夠?qū)С隹墒笴D過橢圓C₁的右焦點，此時C₂的離心率為

7

2

．

解答：解：（1）設(shè)P（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），又有點A（-a，0），B（a，0）．
∵S_△ACD=S_△PCD，
∴C為AP的中點，∴C(

x0-a

2

，

y0

2

)．
將C點坐標(biāo)代入橢圓方程，得

(x0-a)2

a2

+

y 2 0

b2

=4，
又

x 2 0

a2

-

y 2 0

b2

=1?

(x0-a)2

a2

+

x 2 0

a2

=5，
∴x₀=2a（x₀=-a舍去），
∴y0=

3

b，
∴P(2a，

3

b)．
（2）∵KPD=KPB=

y0

x0-a

=

3 b

a

，
直線PD：y=

3 b

a

(x-a)代入

x2

a2

+

y2

b2

=1?2x²-3ax+a²=0
∴xD=

a

2

(xD=a舍去)，
∴C(

x0-a

2

，

y0

2

)，即C(

a

2

，

3

2

b)
∴CD垂直于x軸．若CD過橢圓C₁的右焦點，則

a

2

=

a2-b2

，
∴b=

3

2

a，
∴e=

a2+b2

a

=

7

2

．故可使CD過橢圓C₁的右焦點，此時C₂的離心率為

7

2

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．