Question

如圖，正方體ABCD-A′B′C′D′棱長為1，E是BB′的中點，F(xiàn)是B′C′的中點，
（1）求證：D′F∥平面A′DE；
（2）求二面角A-DE-A′的余弦值。

Answer 1

（1）證明：以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD′分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），A（1，0，0），A′（1，0，1），D′（0，0，1），
E（1，1，），F(xiàn)（，1，1），
，，，
設(shè)平面A′DE的法向量為，
則，即，
從而，
，
∴，
所以D′F∥平面A′DE；
（2）解：設(shè)平面ADE的法向量為，，，
則，即，
從而，
由（1）知DEA′的法向量為，
 ，
∴二面角A-DE-A′的余弦值為。