Question

已知函數(shù)f（x）=x（lnx+1）（x＞0）．
（Ⅰ）設(shè)F（x）=ax²+f'（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若斜率為k的直線與曲線y=f'（x）交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，求證：x₁＜＜x₂．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，代入函數(shù)F（x）=ax²+f'（x）（a∈R），進(jìn)一步求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)函數(shù)，然后分a≥0和a＜0分析導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的符號(hào)，從而得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）由兩點(diǎn)式求出，利用分析法得到證，轉(zhuǎn)化為證，換元后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)得到單調(diào)性，從而得到要證的結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x（lnx+1）（x＞0），得f^′（x）=lnx+2（x＞0），
F（x）=ax²+lnx+2（x＞0），∴（x＞0）．
①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F^′（x）＞0，故F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，
令F^′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得；
令F^′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得；
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）．
要證，即證，
等價(jià)于證，令，
則只要證1＜，由t＞1，知lnt＞0，故等價(jià)于lnt＜t-1＜tlnt（t＞0）（*）
①設(shè)g（t）=t-1-lnt（t≥1），則（t≥1），
故g（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt（t-1）
②設(shè)h（t）=tlnt-（t-1）（t≥1），則h^′（t）=lnt≥0（t≥1），
故h（t）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
∴當(dāng)t＞1時(shí)，h（t）=tlnt-（t-1）＞h（1）=0，即t-1（t＞1）．
由①②知（*）成立，故．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了不等式的證明，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，解答的關(guān)鍵在于正確分類，是有一定難度題目．