Question

已知圓C的中心在原點(diǎn)O，點(diǎn)P（2，2）、A、B都在圓C上，且

OA

+

OB

=m

OP

 （m∈R）．
（Ⅰ）求圓C的方程及直線AB的斜率；
（Ⅱ）當(dāng)△OAB的面積取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

（Ⅰ）設(shè)圓C的方程為x²+y²=r²，
∵點(diǎn)P（2，2）在圓C上，∴r²=8
∴圓C的方程為x²+y²=8
∵A、B都在圓C上，

OA

+

OB

=m

OP

∴A，B關(guān)于直線OP對(duì)稱
∵直線OP的斜率為1
∴直線AB的斜率為-1；
（Ⅱ）設(shè)直線AB的方程為y=-x+b，則圓心到直線AB的距離為d=

|b|

2

∴|AB|=2

8- b2 2

∴△OAB的面積為

1

2

×2

8- b2 2

×

|b|

2

=

(8- b2 2 )× b2 2

≤

8- b2 2 + b2 2

2

=4
當(dāng)且僅當(dāng)8-

b2

2

=

b2

2

，即b=±2

2

時(shí)，△OAB的面積取得最大值4
此時(shí)直線AB的方程為y=-x±2

2

．