Question

設(shè)數(shù)列滿足a₁=2，a_n+1=a_n+，(n=1，2，3，…)

（1）證明a_n>對(duì)一切正整數(shù)n成立；

（2）令b_n=，(n=1，2，3，…)，判斷b_n與b_n+1的大小，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

（1）證法一：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2>，不等式成立． 假設(shè)n=k時(shí)，ak>成立． 當(dāng)n=k+1時(shí)， ． ∴n=k+1時(shí)，ak+1>時(shí)成立． 綜上由數(shù)學(xué)歸納法可知，an>對(duì)一切正整數(shù)成立． 證法二：當(dāng)n=1時(shí)，a1=2>結(jié)論成立． 假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，即ak>． 當(dāng)n=k+1時(shí)，由函數(shù)f(x)=x+(x>1)的單增性和歸納假設(shè)有 ak+1=ak+ 因此只需證： ． 而這等價(jià)于     顯然成立． 所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立． 因此，an>對(duì)一切正整數(shù)n均成立． 證法三：由遞推公式得 ， ， … ． 上述各式相加并化簡(jiǎn)得 =2n+2>2n+1    (n³2)． 又n=1時(shí)，an>明顯成立，故 an>  (n=1，2，…)． （2）解法一： ． 故bn+1<bn． 解法二： （由（1）的結(jié)論） 所以bn+1<bn． 解法三： 故，因此bn+1<bn．