Question

已知函數(shù)f（x）定義在區(qū)間（-1，1）上，f（）=-1，且當(dāng)x，y∈（-1，1）時(shí)，恒有f（x）-f（y）=f（）．又?jǐn)?shù)列{a_n}滿足，a₁=，a_n+1=．
（I ）證明：f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)
（ II ）求f（a_n）的表達(dá)式；
（III）設(shè)b_n=，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，若T_2n+1-T_n≤（其中m∈N^*）對N∈N^*恒成立，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用賦值法先求出f（0）的值，然后令x=0，y∈（-1，1）可得f （-y）=-f （y），然后根據(jù)奇函數(shù)的定義可得結(jié)論；
（II）令x=a_n，y=-a_n，可得f （a_n）與f （a_n+1）的關(guān)系，從而可知數(shù)列{f（a_n）}是以f（a₁）=f（）=-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求出所求；
（III）先求出b_n，表示出前n項(xiàng)和T_n，然后根據(jù)T_2n+1-T_n≤（其中m∈N^*）對N∈N^*恒成立，只需利用單調(diào)性研究T_2n+1-T_n的最大值，建立不等式關(guān)系，解之即可．
解答：（Ⅰ）證明：令x=y=0時(shí)，則由已知有f（0）-f（0）=f（），
可解得f （0）=0．
再令x=0，y∈（-1，1），則有f（0）-f（y）=f（），即f （-y）=-f （y），
∴f （x）是（-1，1）上的奇函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）解：令x=a_n，y=-a_n，于是f（a_n）-f（-a_n）=f（），
由已知得2f （a_n）=f （a_n+1），
∴，
∴數(shù)列{f（a_n）}是以f（a₁）=f（）=-1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
∴f（a_n）═1×2^n-1=-2^n-1…（8分）
（III）解：由（II）得f（a_n+1）=-2ⁿ，于b_n=．
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=（1+++…），
T_2n+1=（1+++…），
∴T_2n+1-T_n=（++…+）．
令k（n）=（++…+）．
于是k（n+1）=（++…+）．
∴k（n+1）-k（n）=（+-）=-＜0．
∴k（n+1）＜k（n），即k（n）在N*上單調(diào)遞減，
∴k（n）_max=k（1）=T₃-T₁=，
∴≥即m≥．
∵m∈N^*，
∴m的最小值為7．…（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合，以及函數(shù)的奇偶性和數(shù)列的求和，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，屬于難題．