Question

已知過點F₁（-1，0）且斜率為1的直線l₁與直線l₂：3x+3y+5=0交于點P．
（Ⅰ）求以F₁、F₂（1，0）為焦點且過點P的橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓C上除長軸兩端點外的任意一點，試問在x軸上是否存在兩定點A、B使得直線QA、QB的斜率之積為定值？若存在，請求出定值，并求出所有滿足條件的定點A、B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）由題意得直線l₁的方程為y=x+1，與直線l₂：3x+3y+5=0聯(lián)立可解出點P的坐標，從而求橢圓的方程；
（II）假設(shè)存在兩定點為A（s，0），B（t，0），使得對于橢圓上任意一點Q（x，y）（除長軸兩端點）都有k_Qt•k_Qs=k（k為定值），則可得 

y

x-s

•

y

x-t

=k，化簡可得（k+

1

2

）x2-k（s+t）x+kst-1=0對任意x∈（-

2

，

2

）恒成立，從而解出k，s，t．

解答： 解：（I）直線l₁的方程為y=x+1，與直線l₂：3x+3y+5=0聯(lián)立可解得，
x=-

4

3

，y=-

1

3

，
則P（-

4

3

，-

1

3

），
則|PF₁|+|PF₂|=

(- 4 3 +1)2+(- 1 3 )2

+

(- 4 3 -1)2+(- 1 3 )2

=2

2

，
則a=

2

，c=1，b=1；
則橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
（II）假設(shè)存在兩定點為A（s，0），B（t，0），
使得對于橢圓上任意一點Q（x，y）（除長軸兩端點）都有k_Qt•k_Qs=k（k為定值），
即 

y

x-s

•

y

x-t

=k，將y²=1-

x2

2

代入并整理得
（k+

1

2

）x2-k（s+t）x+kst-1=0（*）
由題意，（*）式對任意x∈（-

2

，

2

）恒成立，
所以k+

1

2

=0，k（s+t）=0，kst-1=0；
解得k=-

1

2

，s=

2

，t=-

2

；或k=-

1

2

，s=-

2

，t=

2

；．
所以有且只有兩定點（

2

，0），（-

2

，0），
使得k_Qt•k_Qs為定值-

1

2

．

點評：本題考查了橢圓的定義及基本性質(zhì)，同時考查了化簡與運算的能力，同時考查了恒成立問題，注意要細心，屬于難題．