Question

已知k為正常數(shù)，方程x²-kx+u=0有兩個(gè)正數(shù)解x₁，x₂．
（1）求實(shí)數(shù)u的取值范圍；
（2）求使不等式（-x₁） （-x₂）≥（-）²恒成立的k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)方程x²-kx+u=0有兩個(gè)正數(shù)解x₁，x₂．可建立不等式組，從而得解；
（2）先利用韋達(dá)定理，將左邊表示成實(shí)數(shù)u的式子，利用導(dǎo)數(shù)法研究其最小值，從而解決恒成立問題．
解答：解：（1）由于方程x²-kx+u=0有兩個(gè)正數(shù)解x₁，x₂．
所以…（3分）解得0＜u≤，
即實(shí)數(shù)u的取值范圍是（0，]；…（6分）
（2）（-x₁） （-x₂）=x₁x₂+-=u-+2．
令f （u）=u-+2（u＞0），所以f′（u）=1+，…（8分）
（i）若k≥1，因?yàn)?＜u≤，所以f′（u）＞0，從而f （u）在（0，]為增函數(shù)，所以
u-+2≤f （）=-+2=（-（）²，
即（-x₁） （-x₂）≥（（-（）²不恒成立．…（10分）
（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+=0，得u=，
當(dāng)u∈（0，），f′（u）＜0；當(dāng)u∈（，+∞），f′（u）＞0，
所以函數(shù)f （u）在（0，]上遞減，在[，+∞）上遞增，…（12分）
要使函數(shù)f （u）在（0，]上恒有f （u）≥f （），必有≥，即k⁴+16 k²-16≤0，…（14分）
解得0＜k≤2．綜上，k的取值范圍是（0，2]．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題以方程為載體，考查方程根問題，考查恒成立的處理，關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最小值．