Question

對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)

①log_a(MN)＝log_aM＋log_aN，

②log_a＝log_aM－log_aN，

③log_aMⁿ＝nlog_aM(n∈R)，

其中a＞0，a≠1，M＞0，N＞0．

(請(qǐng)給出證明)

Answer 1

答案：
解析：

證明：①設(shè)logaM＝p，logaN＝q，由對(duì)數(shù)的定義可以得：M＝ap，N＝aq，所以MN＝apaq＝ap+q，得loga(MN)＝p＋q，即證得loga(MN)＝logaM＋logaN． 　�、谠O(shè)logaM＝p，logaN＝q，由對(duì)數(shù)的定義可以得：M＝ap，N＝aq，所以＝＝ap－q，得loga＝p－q，即證得loga＝logaM－logaN． 　�、墼O(shè)logaM＝p，由對(duì)數(shù)的定義可以得M＝ap，則Mn＝anp，故logaMn＝logaanp＝np，即證得logaMn＝nlogaM． 　　點(diǎn)評(píng)：①在上述證明的過(guò)程中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，在對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成指數(shù)式時(shí)引入假設(shè)的思想，即設(shè)logaM＝p，logaN＝q，從而達(dá)到將對(duì)數(shù)式化成指數(shù)式，利用指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行證明，即利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行恒等變形；然后再根據(jù)對(duì)數(shù)定義將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式． 　�、诶�用以上的性質(zhì)，可以使兩正數(shù)的積、商的對(duì)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)各自的對(duì)數(shù)的和、差運(yùn)算，大大地方便了對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)求值． 　�、圩⒁舛�義域：真數(shù)的取值范圍必須是(0，＋∞)，如log2(－3)(－5)＝log2(－3)＋log2(－5)與log10(－10)2＝2log10(－10)是不成立的． 　�、軐�(duì)公式容易錯(cuò)誤記憶，要特別注意：loga(MN)≠logaM·logaN，loga(M±N)≠logaM±logaN． 　　記憶技巧：①簡(jiǎn)易語(yǔ)言表達(dá)：“真數(shù)相乘(除)，等于對(duì)數(shù)相加(減)”，也可以用下述的式子表達(dá)：“積的對(duì)數(shù)＝對(duì)數(shù)的和，商的對(duì)數(shù)＝對(duì)數(shù)的差”； 　�、谀嫦蜻\(yùn)用公式：同底對(duì)數(shù)相加(減)，底不變，真數(shù)相乘(除)，如lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1．

提示：

從特殊的對(duì)數(shù)值或?qū)��?shù)表中可以得出上述對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，要想證明對(duì)于所有的M＞0，N＞0都有這樣的性質(zhì)，必須把對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成指數(shù)式，從指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)入手．