Question

已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，P是橢圓C上的一點(diǎn)，且的面積為
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)M的坐標(biāo)為，過點(diǎn)F₂且斜率為k的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)于任意的是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，在△PF₁F₂中，由余弦定理以及三角形的面積，結(jié)合橢圓定義，求出a，c，b可得橢圓的方程．
（Ⅱ）利用直線與橢圓方程，通過韋達(dá)定理，結(jié)合向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)得到定值即可．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，在三角形PF₁F₂中，由余弦定理得4=m²+n²-2mncos，由三角形的面積為
所以，所以mn=，所以m+n=2，所以a=；又c=1，所以b=1，橢圓C的方程為；
（Ⅱ）由F₂（1，0），直線l的方程為y=k（x-1）．由消去y，（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則x₁+x₂=，x₁x₂=
∴=（x₁-，y₁）（x₂-，y₂）=（x₁-）（x₂-）+y₁y₂
=（x₁-）（x₂-）+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（k²+1）-++k²
==由此可知=-為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，注意余弦定理、面積公式橢圓的定義以及向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．