已知數(shù)列{a
n}滿足3na
n+1=（a
n+2n）（n+1），n∈N
+，且a
1=
．
（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{b
n}滿足b
n=
-1，求證：數(shù)列{b
n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）若S
n為數(shù)列{a
n}的前n項(xiàng)和，求證：4S
n＜2n
2+2n+3．
考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合
專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出
bn+1=-1=
(-1)=
bn，由此能證明{b
n}是以
為公比的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（1）知
an=+n，由此利用裂頂求和法求出4S
n=3-
-
+2n（n+1），由此能證明4S
n＜2n
2+2n+3．
解答：
（Ⅰ）證明：∵b
n=
-1，3na
n+1=（a
n+2n）（n+1），
∴
bn+1=-1=
-1=
-1=
+-1=
•-=
(-1)=
bn，
∴{b
n}是以
為公比的等比數(shù)列．（6分）
（Ⅱ）證明：由（1）知
-1=(-1)•()n-1=
()n，
∴
an=+n，（7分）
∴
Sn=(+1)+(+2)+(+3)+…+（
+n）
=（
+++…+）+（1+2+3+…+n），（8分）
設(shè)T
n=
+++…+，①
則
Tn=
++…+，②
①-②得：
Tn=
++…+-=
(1-)-，
∴T
n=
(1-)-
，（11分）
∴
Sn=Tn+=
(1-)-
+，（12分）
即4S
n=3-
-
+2n（n+1）
=
2n2+2n+3-＜2n
2+2n+3．
∴4S
n＜2n
2+2n+3．（14分）
點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，P為其體對角線的交點(diǎn)，問過P能夠做多少個(gè)平面，使其與平行六面體的12條棱所成角相等（ �。�
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知函數(shù)f（x）=x-1+
（a∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于直線y=x-1，求a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知函數(shù)f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）若f（x）在[-3，a]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)t，當(dāng)x∈[1，m]，f（x+t）≤3x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且
=．
（1）求角A的值；
（2）若∠B=
，BC邊上中線AM=
，求△ABC的面積．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
設(shè)函數(shù)f（x）=mlnx，h（x）=x-a．
（1）若a=0時(shí)，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f（x）的圖象總在h（x）的圖象的下方，求m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-h（x）在[1，4]上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知二次函數(shù)f（x）=x2+（m+1）x+m-1的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）＜0時(shí)的解集．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
已知函數(shù)f（x）=x3+x，x∈R
（1）不必證明，直接寫出f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）證明：f（x）是奇函數(shù)；
（3）解關(guān)于t的不等式f（1-t）+f（2t-3）＞0．
查看答案和解析>>
科目：高中數(shù)學(xué)
來源：
題型：
（1）已知tanα=3，π＜α＜
，求sin（
+α）+sin（π+α）的值
（2）證明：
=
．
查看答案和解析>>
