Question

已知橢圓經(jīng)過點M（2，1），O為坐標原點，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0）．
（1）當m=3時，判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系（寫出結(jié)論，不需證明）；
（2）當m=3時，P為橢圓上的動點，求點P到直線l距離的最小值；
（3）如圖，當l交橢圓于A、B兩個不同點時，求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）當m=3時，直線l與橢圓相離．
（2）直線l的斜率為，設(shè)直線a與直線l平行，且直線a與橢圓相切，設(shè)直線a的方程為…（3分）聯(lián)立，得x²+2bx+2b²-4=0…（4分），故△=（2b）²-4（2b²-4）=0，解得b=±2，由此能求出點P到直線l距離的最小值．
（3）由，得x²+2mx+2m²-4=0，設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．
解答：（1）解：當m=3時，直線l與橢圓相離．…（2分）
（2）解：可知直線l的斜率為，
設(shè)直線a與直線l平行，且直線a與橢圓相切，
設(shè)直線a的方程為…（3分）
聯(lián)立，得x²+2bx+2b²-4=0…（4分）
∴△=（2b）²-4（2b²-4）=0，解得b=±2（5分）
∴直線a的方程為．
所求P到直線l的最小距離等于直線l到直線的距離    …（6分）
．…（7分）
（3）證明：由，得x²+2mx+2m²-4=0，
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁+x₂=-2m，，…（9分）
而…（10分）
=
=
=…（11分）
=           
=
=
=
==0，
∴k₁+k₂=0…（13分）
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．…（14分）
點評：本題考查直線l橢圓的位置關(guān)系的判斷，求點到直線距離的最小值，證明兩直線與x軸始終圍成一個等腰三角形．綜合性強，難度大，有一定的探索性，是高考的重點．解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．