設(shè)數(shù)列{an}、{bn}（bn＞0，n∈N*），滿足an=數(shù)學(xué)公式（n∈N*），證明：{an}為等差數(shù)列的充要條件是{bn}為等比數(shù)列．

證明：充分性：若{bn}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，則an===lgb1+（n-1）lgq，an+1-an=lgq為常數(shù)，
∴{an}為等差數(shù)列．
必要性：由an=得nan=lgb1+lgb2++lgbn，（n+1）an+1=lgb1+lgb2++lgbn+1，
∴n（an+1-an）+an+1=lgbn+1．
若{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d，
則nd+a1+nd=lgbn+1，
∴bn+1=10，bn=10．
∴=102d為常數(shù)．
∴{bn}為等比數(shù)列．
分析：先證充分性：即若{bn}為等比數(shù)列，證出{an}為等差數(shù)列．再證必要性：即若{an}為等差數(shù)列，則{bn}為等比數(shù)列．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)注意公式的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和是Sn，存在常數(shù)A，B使an+Sn=An+B對(duì)任意正整數(shù)n都成立．
（1）設(shè)A=0，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若p＜q，且
1
Sp
+
1
Sq
=
1
S11
，求p，q的值．
（3）設(shè)A＞0，A≠1，且
an
an+1
≤M對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求M的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=0，4an+1=4an+2
4an+1
+1，令bn=
4an+1
．
（1）試判斷數(shù)列{bn}是否為等差數(shù)列？并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）令Tn=
b1×b3×b5×…×b(2n-1)
b2×b4×b6×…b2n
，是否存在實(shí)數(shù)a，使得不等式Tn
bn+1
＜
2
log2(a+1)對(duì)一切n∈N*都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）比較bnbn+1與bn+1bn的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n-8）Sn+1-（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3…，其中A，B為常數(shù)．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an=5n-4
an=5n-4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn
（1）證明：當(dāng)b=2時(shí)，{an-n•2n-1}是等比數(shù)列；
（2）求{an}的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=an+b（n∈N*，a＞0）．?dāng)?shù)列{bn}定義如下：對(duì)于正整數(shù)m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（1）若a=2，b=-3，求b10；
（2）若a=2，b=-1，求數(shù)列{bm}的前2m項(xiàng)和公式．

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