Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（Ⅲ）解不等式|f（x²-x）|$＜\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）易得f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$=-f（x），由奇函數(shù)的定義可得；
（Ⅱ）變形可得f（x）=1-$\frac{2}{{（2}^{x}）^{2}+1}$，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得；
（Ⅲ）原不等式可化為-$\frac{1}{3}$＜f（x²-x）＜$\frac{1}{3}$，即f（-$\frac{1}{2}$）＜f（x²-x）＜f（$\frac{1}{2}$），由函數(shù)的單調(diào)性可得-$\frac{1}{2}$＜x²-x＜$\frac{1}{2}$，解關(guān)于x的不等式組可得答案．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，
∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-{2}^{x}}{{2}^{-x}+{2}^{x}}$=-f（x），
∴函數(shù)f（x）為R上奇函數(shù)；
（Ⅱ）變形可得f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$
=$\frac{{2}^{x}+{2}^{-x}-2•{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$
=1-$\frac{2•{2}^{-x}}{{2}^{x}+{2}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{（2}^{x}）^{2}+1}$，
當(dāng)x＞0時，2^x隨x的增大而增大，故（2^x）²也隨x的增大而增大，
∴$\frac{2}{{（2}^{x}）^{2}+1}$隨x的增大而減小，
故f（x）=$\frac{{2}^{x}{-2}^{-x}}{{2}^{x}{+2}^{-x}}$=1-$\frac{2}{{（2}^{x}）^{2}+1}$隨x的增大而增大，
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
由函數(shù)為奇函數(shù)可得函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增，
由f（x）為R上奇函數(shù)可得f（x）在R單調(diào)遞增，
當(dāng)x趨向于+∞時，函數(shù)趨向于最大值1，
由函數(shù)為奇函數(shù)可得函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1）；
（Ⅲ）驗(yàn)證可得f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{3}$，f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{3}$，
不等式|f（x²-x）|$＜\frac{1}{3}$可化為-$\frac{1}{3}$＜f（x²-x）＜$\frac{1}{3}$，
∴f（-$\frac{1}{2}$）＜f（x²-x）＜f（$\frac{1}{2}$），
由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)可得-$\frac{1}{2}$＜x²-x＜$\frac{1}{2}$，
解關(guān)于x的不等式組可得{x|$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$＜x＜$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$}

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性以及不等式的解法，屬中檔題．