Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-x+1n(x+1)，a≥0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在[0，+∞）上的最小值是0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，對(duì)a分類討論即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（2）利用（1）的結(jié)論即可求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f^′（x）=

x(ax+a-1)

x+1

（x＞-1）．
①當(dāng)a=0時(shí)，f′(x)=

-x

x+1

，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，+∞）；
②當(dāng)a＞0時(shí)，f^′（x）=

ax(x- 1-a a )

x+1

，
令f^′（x）=0，解得x₁=0，x2=

1-a

a

．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x₁＜x₂，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0）和(

1-a

a

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，

1-a

a

)；
當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

x2

x+1

在（-1，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞1時(shí)，-1＜

1-a

a

＜0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1，

1-a

a

)和（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是(

1-a

a

，0)．
（2）由（1）可知：①a=0時(shí)不符合題意；
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）在(0，

1-a

a

)上單調(diào)遞減，在(

1-a

a

，+∞)單調(diào)遞增，
由題意可知f（x）_min=f(

1-a

a

)＜f（0）=0，不符合題意，應(yīng)舍去；
③當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）_min=f（0）=0滿足題意．
綜上可知：a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及分類討論的思想方法是解題的關(guān)鍵．