Question

如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=20米，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）試用θ表示S₁和S₂．
（2）當(dāng)θ變化時(shí)，求“規(guī)劃合理度”取得最小值時(shí)的角θ的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（1）據(jù)題知三角形ABC為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)分別求出AC和AB，求出三角形ABC的面積S₁；設(shè)正方形PQRS的邊長(zhǎng)為x，利用三角函數(shù)分別表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=20列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值稱為“規(guī)劃合理度”，可設(shè)t=sin2θ來(lái)化簡(jiǎn)求出S₁與S₂的比值，利用三角函數(shù)的增減性求出比值的最小值即可求出此時(shí)的θ．
解答：解：（1）如圖，在Rt△ABC中，AC=20sinθ，AB=20cosθ，
=100sin2θ，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x則，
∴，
∴=，；
（2）t=sin2θ而S₂=∴，
∵0＜θ＜，又0＜2θ＜π，∴0＜t≤1∴為減函數(shù)
當(dāng)t=1時(shí)取得最小值為此時(shí)．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的函數(shù)關(guān)系的能力，以及在實(shí)際問(wèn)題中建立三角函數(shù)模型的能力．