Question

15．某同學在研究相鄰三個整數(shù)的算術平方根之間的關系時，發(fā)現(xiàn)以下三個式子均是正確的：①$\sqrt{1}$+$\sqrt{3}$＜2$\sqrt{2}$；②$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$＜2$\sqrt{3}$；③$\sqrt{3}$+$\sqrt{5}$＜2$\sqrt{4}$
（1）已知$\sqrt{2}∈（1.41$，1.42），$\sqrt{3}∈（1.73$，1.74），$\sqrt{5}∈（2.23$，2.24），請從以上三個式子中任選一個，結合此范圍，驗證其正確性（注意不能近似計算）；
（2）請將此規(guī)律推廣至一般情形，并證明之．

Answer 1

分析 （1）結合此范圍，驗證其正確性，
（2）一般結論為：若n∈N^*，則$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，用分析法和綜合法即可證明．

解答 解：（1）驗證①式成立：∵$\sqrt{3}＜1.74$，
∴$\sqrt{1}+\sqrt{3}＜2.74$，
∵$\sqrt{2}＞1.41$，
∴$2\sqrt{2}＞2.82$，
∴$\sqrt{1}+\sqrt{3}＜2\sqrt{2}$
（2）一般結論為：若n∈N^*，則$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，證明如下：
證法一：要證：$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$
只需證：${（\sqrt{n}+\sqrt{n+2}）^2}＜{（2\sqrt{n+1}）^2}$
即證：$2n+2+2\sqrt{n}\sqrt{n+2}＜4n+4$
也就是證：$\sqrt{n}\sqrt{n+2}＜n+1$
只需證：n（n+2）＜n²+2n+1
即證：0＜1，顯然成立
故$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$，
證法二：$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$=$\frac{{（\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}）（\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1）}}}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}$，
=$\frac{1}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
=$\frac{{（\sqrt{n+1}-\sqrt{n}）（\sqrt{n+1}+\sqrt{n}）}}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
=$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
∵n∈N^*，$\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}＞$$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}＞0$，
∴$\frac{1}{{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}＜$$\frac{1}{{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$，
∴$\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}＜$$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$，
∴$\sqrt{n}+\sqrt{n+2}＜2\sqrt{n+1}$

點評 本題考查了分析法和綜合法，關鍵掌握證明格式，屬于中檔題．