Question

已知數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且a₃、a₈分別是方程x²-66x+128=0的兩根．
（1）求a₅•a₆的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）以數(shù)列{a_n}中的偶數(shù)項作為一個新的數(shù)列{b_n}，求數(shù)列{b_n}的通項公式，并求前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，我們易得a₅•a₆=a₃•a₈，再由a₃、a₈分別是方程x²-66x+128=0的兩根，由韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）我們易得到答案．
（2）由數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且a₃、a₈分別是方程x²-66x+128=0的兩根，我們易由韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）求出數(shù)列的a₃、a₈，進(jìn)而求出數(shù)列的公比，得到數(shù)列的通項公式；項公式，并求前n項和S_n．
（3）由（2）的結(jié)論，結(jié)合以數(shù)列{a_n}中的偶數(shù)項作為一個新的數(shù)列{b_n}，我們可以確定數(shù)列{b_n}的首項及公比，進(jìn)而得到通項公式，及前n項和S_n．
解答：解：∵數(shù)列{a_n}為遞增的等比數(shù)列，且a₃、a₈分別是方程x²-66x+128=0的兩根
∴a₃•a₈=128，a₃+a₈=66
∴a₃=2，a₈=64
（1）∵5+6=3+8
∴a₅•a₆=a₃•a₈=128，
（2）∵a₃=2，a₈=64
∴q=2
∴a_n=2^n-2
（3）由（2）的結(jié)論數(shù)列{a_n}中的偶數(shù)項作為一個新的數(shù)列{b_n}，
則數(shù)列{b_n}是一個以1為首項，以4為公比的等比數(shù)列
則b_n=4^n-1
S_n==
點評：本題考查的知識點是等比數(shù)列的性質(zhì)、等比數(shù)列的通項公式、等比數(shù)列的前n項和，解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項公式及前n項和公式，然后代入進(jìn)行運算．