Question

11．設函數y=f（x）（x∈R）的導函數為y=f′（x），且f（x）=f（-x），f′（x）＜f（x）．則下列三個數：a=ef（2），b=f（3），c=e²f（-1）從小到大排列為b＜a＜c．（e為自然對數的底數）

Answer 1

分析 構造函數g（x）=e^-xf（x），利用導數得出其單調性，及利用f（-x）=f（x）即可得出．

解答 解：構造函數g（x）=e^-xf（x），
∵f′（x）＜f（x），則g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）=e^-x（f′（x）-f（x））＜0．
∴函數g（x）在R上單調遞減．
∴e^-3f（3）＜e^-2f（2）＜e^-1f（1），又f（-1）=f（1），
∴f（3）＜ef（2）＜e²f（1）=e²f（-1）．
故三個數：a=ef（2），b=f（3），c=e²f（-1）從小到大依次排列為：f（3），ef（2），e²f（-1）．
故答案為：b＜a＜c．

點評 本題考查了函數的單調性應用，恰當構造函數g（x）=e^-xf（x），熟練掌握利用導數研究函數單調性、奇偶性是解題的關鍵．