Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax²-ex，a∈R．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）試確定a的取值范圍，使得曲線y=f（x）上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，可求a的值，令f′（x）=e^x-e＜0，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；令f′（x）＞0，可得單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)點P（x，f（x）），曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y=f′（x）（x-x）+f（x），令g（x）=f（x）-f′（x）（x-x）+f（x），曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P等價于g（x）有唯一零點，求出導(dǎo)函數(shù)，再進行分類討論：（1）若a≥0，g（x）只有唯一零點x=x，由P的任意性a≥0不合題意；（2）若a＜0，令h（x）=，則h（x）=0，h′（x）=e^x+2a，可得函數(shù)的單調(diào)性，進而可研究g（x）的零點，由此可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=e^x+2ax-e
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，
∴k=2a=0，∴a=0
∴f（x）=e^x-ex，f′（x）=e^x-e
令f′（x）=e^x-e＜0，可得x＜1；令f′（x）＞0，可得x＞1；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，1），單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）
（Ⅱ）設(shè)點P（x，f（x）），曲線y=f（x）在點P處的切線方程為y=f′（x）（x-x）+f（x）
令g（x）=f（x）-f′（x）（x-x）-（x）
∵曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P，∴g（x）有唯一零點
∵g（x）=0，g′（x）=
（1）若a≥0，當(dāng)x＞x時，g′（x）＞0，∴x＞x時，g（x）＞g（x）=0
當(dāng)x＜x時，g′（x）＜0，∴x＜x時，g（x）＞g（x）=0，故g（x）只有唯一零點x=x，由P的任意性a≥0不合題意；
（2）若a＜0，令h（x）=，則h（x）=0，h′（x）=e^x+2a
令h′（x）=0，則x=ln（-2a），∴x∈（-∞，ln（-2a）），h′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減；x∈（ln（-2a），+∞），h′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增；
①若x=ln（-2a），由x∈（-∞，ln（-2a）），g′（x）＞0；x∈（ln（-2a），+∞），g′（x）＞0，∴g（x）在R上單調(diào)遞增
∴g（x）只有唯一零點x=x；
②若x＞ln（-2a），由x∈（ln（-2a），+∞），h（x）單調(diào)遞增，且h（x）=0，則當(dāng)x∈（ln（-2a），x），g′（x）＜0，g（x）＞
g（x）=0
任取x₁∈（ln（-2a），x），g（x₁）＞0，
∵x∈（-∞，x₁），∴g（x）＜ax²+bx+c，其中b=-e+f′（x）．c=
∵a＜0，∴必存在x₂＜x₁，使得
∴g（x₂）＜0，故g（x）在（x₂，x₁）內(nèi)存在零點，即g（x）在R上至少有兩個零點；
③若x＜ln（-2a），同理利用，可得g（x）在R上至少有兩個零點；
綜上所述，a＜0，曲線y=f（x）上存在唯一的點P，曲線在該點處的切線與曲線只有一個公共點P（ln（-2a），f（ln（-2a）））．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題．