一條斜率為1的直線l與離心率為
3
的雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）交于P、Q兩點(diǎn)，直線l與y軸交于R點(diǎn)，且
OP
•
OQ
=-3，
PR
=3
RQ
，求直線與雙曲線的方程．
考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：由離心率化簡(jiǎn)雙曲線方程，設(shè)出直線l方程，代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入2個(gè)關(guān)于向量的等式求待定系數(shù)．
解答： 解：∵e=
3
，∴b=2a2，
∴雙曲線方程可化為2x2-y2=2a2，（2分）
設(shè)直線方程為y=x+m，
由
y=x+m
2x2-y2=2a2
得x2-2mx-m2-2a2=0．（4分）
∵△=4m2+4（m2+2a2）＞0，
∴直線一定與雙曲線相交，（6分）
設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
則x1+x2=2m，x1x2=-m2-2a2，
∵
PR
=3
RQ
，
∴xR=
x1+3x2
4
，x1=-3x2，
∴x2=-m，-3x22=-m2-2a2，
消去x2得，m2=a2，（8分）
OP
•
OQ
=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+m）（x2+m）
=2x1x2+m（x1+x2）+m2=m2-4a2=-3，（10分）
∴m=±1，a2=1，b2=2，直線方程為y=x±1，
雙曲線方程為x2-
y2
2
=1．   （12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)、向量運(yùn)算、直線與雙曲線的位置關(guān)系．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

學(xué)校在高二開設(shè)了當(dāng)代戰(zhàn)爭(zhēng)風(fēng)云、投資理財(cái)、汽車模擬駕駛與保養(yǎng)、硬筆書法共4門選修課，每個(gè)學(xué)生必須且只需選修1門選修課，對(duì)于該年級(jí)的甲、乙、丙3名學(xué)生．
（Ⅰ）求這3名學(xué)生選擇的選修課互不相同的概率；
（Ⅱ）求恰有2門選修課沒(méi)有被這3名學(xué)生選擇的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知p：|x-a|＜4；q：（x-2）（x-3）＜0，若￢p是￢q的充分不必要條件，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，上頂點(diǎn)為B．Q為拋物線y2=12x的焦點(diǎn)，且
F1B
•
QB
=0，2
F1F2
+
QF1
=0．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)（M在P，N之間），設(shè)直線l的斜率為k（k＞0），在x軸上是否存在點(diǎn)A（m，0），使得以AM，AN為鄰邊的平行四邊形為菱形？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知平行四邊形ABCD和平行四邊形ACEF所在的平面相交于直線AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=
3
．
（Ⅰ）求證：AC⊥BF
（Ⅱ）求二面角F-BD-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）滿足：
①在x=1時(shí)有極值；
②圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），且在該點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)g（x）=f（x2）在[-2，2]上的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，設(shè)雙曲線C1：
y2
a2
-
x2
b2
=1（a＞0，b＞0）的上焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B為雙曲線虛軸的左端點(diǎn)，已知Cl的離心率為
2
3
3
，且△ABF的面積S=1-
3
2
．
（Ⅰ）求雙曲線Cl的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線C2的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F，動(dòng)直線l與C2相切于點(diǎn)P，與C2的準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q試推斷以線段PQ為直徑的圓是否恒經(jīng)過(guò)y軸上的某個(gè)定點(diǎn)M？若是，求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+x2（a為常實(shí)數(shù)）．
（1）若a=-2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f（x）≤a+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及相應(yīng)的x值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若a，b，c成等比數(shù)列，公比為3，且a，b+2，c成等差數(shù)列，則b=
 
．

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